Число Q

Рациональное число — Rational number

В математике , А рациональное число любое число , которое может быть выражено как фактор или дроби р / д из двух целых чисел , в числитель р и ненулевым знаменатель д . Так как д может быть равно 1, каждое целое число является рациональным числом. Множество всех рациональных чисел, часто называемых « рациональные числа », в поле рациональных чисел или поле рациональных чисел обычно обозначаются жирным Q (или ажурный полужирный , Unicode ℚ); Таким образом , он был обозначен в 1895 году Джузеппе Пеано после quoziente , итальянский для « частного ». Q <\ Displaystyle \ mathbb >

Десятичное разложение рационального числа всегда либо заканчивается после конечного числа цифр или начинает повторять ту же самую конечную последовательность цифр снова и снова. Кроме того, любое повторение или прекращения десятичной представляет собой рациональное число. Эти утверждения справедливы не только для основания 10 , но и для любого другого целого основания (например , двоичные , шестнадцатеричного ).

Вещественное число , что не является рациональным, называется иррациональным . Иррациональные числа включают √ 2 , л , е , и ф . Десятичное разложение иррационального числа продолжается без повторения. Так как множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел несчетно , почти все действительные числа иррациональны.

Рациональные числа могут быть формально определены как классы эквивалентности пар целых чисел ( р , д ) такой , что Q ≠ 0 , для отношения эквивалентности , определяемого ( р ₁ , д ₁ )

( р ₂ , д ₂ ) , если и только если р ₁ д ₂ = р ₂ д ₁ . С помощью этого формального определения, дробь р / д переходит в стандартное обозначение для класса эквивалентности ( р , д ) .

Рациональные числа вместе с добавлением и умножения образуют поле , которое содержит целые числа , и содержится в любой области , содержащей целые числа. Другими слова, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет характеристику нуль , если и только если она содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения из Q называются полями алгебраических чисел , и алгебраическое замыкание в Q является полем алгебраических чисел .

В математическом анализе , рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Реальные цифры могут быть построены из рациональных чисел завершения , используя последовательность Коши , порезы дедекиндовы или бесконечные десятичные дроби .

содержание

терминология

Термин рационален по отношению к установленным Q относится к тому факту , что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике, «рациональный» часто используются как существительное сокращенного «рациональное число». Прилагательное рационально иногда означает , что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональной точкой является точка с рациональными координатами (т.е. точка, координаты которых являются рациональными числами); рациональная матрица является матрицей рациональных чисел; рациональный полином может быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «многочлен над полем рациональных чисел» , как правило , предпочтителен, для избежания путаницы с « рациональным выражением » и « рациональной функцией » (полиномом является рациональным выражением и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Тем не менее, рациональной кривой не кривая , определенная над полем рациональных чисел, а кривая , которая может быть параметрироваться рациональными функциями.

арифметика

Неснижаемый фракция

Каждое рациональное число может быть выраженно в уникальном способе в качестве несократимой дроби в / б , где и Ь являются взаимно простыми целыми числами , и б > 0 . Это часто называется канонической формой .

Исходя из рациональных чисел в / б , ее каноническая форма может быть получена путем деления и б их наибольший общий делитель , и, если б , изменение знака результирующего числитель и знаменатель.

Вложение целых чисел

Любой целое число п может быть выражен в виде рационального числа п / 1 , который является его канонической формой , как рациональное число.

равенство

Если обе фракции в канонической форме, то

заказ

Если оба знаменатели являются положительными, и, в частности, если обе фракции в канонической форме,

Если какой-либо знаменатель является отрицательным, каждая фракция с отрицательным знаменателем сначала должна быть преобразована в эквивалентную форму с положительным знаменателем, изменяя признаки как ее числитель и знаменатель.

прибавление

Две фракции добавляют следующим образом:

Если обе фракции в канонической форме, то результат будет в канонической форме , если и только если б и д являются взаимно простыми целыми числами .

Вычитание

Если обе фракции в канонической форме, то результат будет в канонической форме , если и только если б и д являются взаимно простыми целыми числами .

умножение

Даже если оба фракций находятся в канонической форме, то результат может быть приводимой фракцией .

обратный

Каждое рациональное число / б имеет аддитивную инверсию , который часто называют его противоположностью ,

Если / б в канонической форме, то же самое относится и к его противоположности.

Отличное от нуля рациональное число / б имеет мультипликативный обратный , называемый также ее обратная ,

Если / б в канонической форме, то каноническая форма его обратной либо или , в зависимости от знака . б a <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <Ь><а>>> — б — a <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <-b><- а>>>

разделение

Если оба б и с не равны нулю, то правило деление

Таким образом, разделив на / б с с / д эквивалентно умножению на / б на обратной от гр / г :

Возведение в целую степень

Если п является неотрицательным целым числом, то

Результат находится в канонической форме , если то же самое верно для в / б . Особенно,

Если / б в канонической форме, каноническая форма результата , если либо > 0 или п четно. В противном случае, каноническая форма результата б N a N <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <Ь <п>> <а ^ <п>>>> — б N — a N , <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <-b ^ <п>> <-. А ^ <п>>>>

Продолжение представления фракции

Конечная цепная дробь является выражением таких , как

где _п являются целыми числами. Каждое рациональное число / б может быть представлено в виде конечной цепной дроби, чьи коэффициенты _п может быть определена путем применения алгоритма Евклида к ( , б ).

Другие представления

• общая доля : 8 3 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <8><3>>>
• смешанная позиция : 2 2 3 <\ Displaystyle 2 <\ tfrac <2><3>>>
• Повторяя десятичной помощью винкулума : 2. 6 ¯ <\ Displaystyle 2. <\ Overline <6>>>
• Повторяя десятичные с помощью круглых скобок : 2. ( 6 )
• Цепная дробь , используя традиционные типографии: 2 + 1 1 + 1 2 <\ Displaystyle 2 + <\ cfrac <1><1 + <\ cfrac <1><2>>>>>
• непрерывная дробь в сокращенном обозначении: [2; 1, 2]
• Египетская фракция : 2 + 1 2 + 1 6 <\ Displaystyle 2 + <\ гидроразрыва <1><2>> + <\ гидроразрыва <1><6>>>
• простое разложение мощности : 2 3 × 3 — 1 <\ Displaystyle 2 ^ <3>\ 3 раз ^ <- 1>>
• котировка обозначения : 3 6!

различные способы представления и то же рациональное значения.

Формальное строительство

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из целых чисел .

Более точно, пусть ( Z × ( Z \ <0>)) множество пар ( т , п ) целых чисел , таких п ≠ 0 . Отношение эквивалентности определяется на этом множестве

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает , что она совместима с добавлением и умножением , определенным выше; множество рациональных чисел Q является определяются как фактор , установленный этим отношение эквивалентности, ( Z × ( Z \ <0>)) /

, оснащенное сложением и умножением , индуцированного вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть выполнена с любой областью целостности и производит его поле фракций .)

Каждый класс эквивалентности может быть представлен бесконечным числом пара, так как м N <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <т><п>>>

Часто бывает удобно выбрать один раз для всех, в каждом классе эквивалентности конкретный элемент называется каноническим представительный элемент . Этот канонический представитель является уникальной парой ( м , п ) в классе эквивалентности таким образом, что т и п являются взаимно простыми , и т ≥ 0 . Это называется представление в низших терминах рационального числа.

Целые числа могут считаться рациональными числами , идентифицирующие целым числом п с рациональным числом N 1 , <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <п><1>>.>

Общий порядок может быть определен на рациональных числах, который расширяет естественный порядок чисел. Нужно ли м 1 N 1 ≤ м 2 N 2 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва > <П- <1>>> \ > <П- <2>>>>

свойства

Множество Q вместе с операциями сложения и умножения , показанных выше, образует поле , то поле частных этого целых чисел Z .

Рациональных чисел являются наименьшими поле с характерным нуля: каждое другое поле нулевой характеристики содержит копию Q . Поэтому рациональные числа являются простым полем для нулевой характеристики.

Алгебраическое замыкание в Q , то есть области корней рациональных полиномов, является алгебраическими числами .

Множество всех рациональных чисел счетно . Так как множество всех действительных чисел несчетно, мы говорим , что почти все действительные числа иррациональны, в смысле меры Лебега , то есть множество рациональных чисел является пустым множеством .

Рациональных чисел являются плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами, там сидит еще один, и, следовательно, бесконечно много других. Например, для любых двух фракций таким образом, что

(где положительны), мы имеем б , d

Любой вполне упорядоченное множество, счетное плотное (в указанном выше смысле), и не имеет наименьшего или наибольшего элемента является порядок изоморфными для рациональных чисел.

Действительные числа и топологические свойства

Рациональные числа являются плотным подмножеством действительных чисел: каждое вещественное число имеет рациональные числа сколь угодно близкие к нему. Свойство родственный , что рациональные числа являются только числа с конечными расширениями как регулярные непрерывные дроби .

В силе своего порядка, рациональные числа несут топологию заказа . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, а также несут в себе топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство при помощи абсолютной разности метрики d ( х , у ) = | х — у |, и это дает третью топологию Q . Все три топологий совпадают и превратить в рациональных топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства , которое не является локально компактным . Рациональные числа характеризуются топологический как уникальное счетным метризуемым пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключен . Рациональные числа не образуют полное метрическое пространство ; что действительные числа являются завершение Q в соответствии с метрикой г ( х , у ) = | х — у |, выше.

р -адические числа

В дополнение к абсолютному значению метрики , упомянутой выше, существуют и другие показатели , которые превращают Q в топологическое поле:

Пусть р будет простое число и для любого ненулевого целого числа а , пусть | | _р = р — п , где р п является самой высокой мощностью р деления .

Кроме набора | 0 | _р = 0. Для любого рационального числа в / б , положим | / б | _р = | | _р / | б | _р .

Метрическое пространство ( Q , д _р ) не является полным, а его завершением является р -адического номер поля Q _р . Теорема Островского гласит , что любое нетривиальное абсолютное значение на рациональных чисел Q эквивалентно либо обычной реальной абсолютной величине или р -адического абсолютного значения.

Рациональные числа

Рациональное число — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби, где числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным.

Q — множество рациональных чисел.

Примеры рациональных чисел: -5,\; \frac<8><9>,\; 0,\; 7\frac34,\; 4,\; 6 и т.д.

Во множестве натуральных чисел не всегда выполняется операция вычитания и поэтому возникла необходимость в его расширении. Таким образом, было введено понятие отрицательного числа вида ( −m , m — натуральное число).

Множеством целых чисел называют множество натуральных чисел, нуль и отрицательные числа и обозначается латинской буквой \mathbb .

В множестве целых чисел не всегда выполнима операция деления, и потому вводятся числа вида \frac

— обыкновенные дроби, где p и q — целые числа, q \neq 0 .

p — называют числителем дроби, а q — знаменателем.

В случае если q=1 дробь будет представлять собой \frac p1 , или просто чаще пишут p . Исходя из этого делают следующий вывод: любое натуральное число можно представить как обыкновенную дробь со знаменателем 1 . Запись \frac pq — другой вариант записи p : q .

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные. Дробь вида \frac pq , у которой знаменатель больше числителя, называется правильной дробью, а дробь, в которой числитель больше знаменателя или равняется ему — неправильной дробью.

Любую неправильную дробь можно представить как сумму натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа).

Числовые множества N,Z,Q,R

Текст 1. Числовые множества

N = <1; 2; 3; …; n; …>– множество всех натуральных чисел.

Z = <… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …>– множество всех целых чисел. Q = < (m∈Z, n∈ N)>– множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.

2) Читайте текст. 3) Пишите текст. 4) Выучите текст.

Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

1 – натуральное число.

1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.

N= <1; 2; 3; …; n; …>– множество всех натуральных чисел.

1∈ N, 2∈N, 0∉N, – 2 ∉ N.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы:

а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?

б) Какое множество обозначают буквой N? в) Какое самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?

Задание 3. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

2; 0; 2 – целые числа.

Z = <… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …>– множество всех целых чисел.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех целых чисел? б) Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?

Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.

Числа вида (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде (m∈ Z, n∈N). Q = < (m∈Z, n∈N)>– множество всех рациональных чисел.

-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q; 3 (корень из трёх)∉Q.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество обозначают буквой Q? в) Какие числа называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?

Задание 5. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

Если число нельзя записать в виде (m∈Z, n∈N), то это

иррациональное число. 3 = 1, 73205…; — 2 = — 1,41421…;

е = 2,71828…; π (пи) = 3,14159…– иррациональные числа.

Иррациональные числа – бесконечные непериодические

Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество обозначают буквой R? в) Какие числа образуют

множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;

-9,02; — ; − ; е; 10; 12,5?

Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:

Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:

-2 … Z 4 16 … Z π …R – … R

0 … N 3 …Q – … Q 0,175 … Q

100 … N 5,5 …Q − …R е … R

Задание 8. Выпишите: 1) рациональные числа; 2) иррациональные числа:

; 0; – 6; — 2 ; 3,6; 0,6666… ; 0,313131… ;

Задание 9. Выполните действия:

1) N ∩ Z; 2) N U Z; 3) Q ∩ Z; 4) Z U Q; 5) N U R; 6)R∩N;

7) N ∩ Q; 8) R∩ Q; 9) Q U R; 10) Z ∩ Q.

Задание 10. Ответьте на вопросы:

1) Чему равно пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел?

2) Чему равно объединение множеств рациональных и иррациональных чисел?

Задание 11. Назовите несколько элементов множества:

1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных

чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.

Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.

1) Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и чисел,

противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из

целых чисел и дробей вида

, где р – целое, q – натуральное. q

3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.

Слова и словосочетания:

натуральное число действительное число целое число периодическая дробь рациональное число десятичная дробь иррациональное число

Материал взят из книги Начальный курс по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)